martes, 31 de mayo de 2016

Números reales, números de mentirita

Este post se debe a una aclaración que debo haber continuamente. Existen los números reales y los números imaginarios, que juntos conforman los complejos. En muchos estudiantes, la noción parece ser que los números reales son números de verdad, mientras que los números imaginarios son "de mentira", solo para hacer cosas abstractas. Mi objetivo es mostrar que esto es un error semántico, los números -incluyendo los reales- son abstracciones (algunas aparentemente más intuitivas que otras) y al mismo tiempo los números imaginarios tienen aplicaciones reales (en el sentido de realidad).

Empezaré con una "brevísima" taxonomía de los números hasta llegar a lo que nos interesa. Los números que usamos para contar (1, 2, 3, ...) los llamamos naturales, y los denominamos con la letra . Con estos números podemos sumar, multiplicar, restar y dividir. Sin embargo, aunque para la suma y multiplicación no hay problemas, nos damos cuenta de que no es posible dividir o restar dos números cualesquiera. Es imposible restar 3 manzanas de una caja que solo tiene 2. Es imposible separar 12 manzanas en grupos de 5 sin cortarlas o modificarlas de alguna manera. Para resolver el primer problema, podemos extender nuestros números naturales al conjunto de los enteros . Esto requiere una cierta cantidad de abstracción, porque nos obliga a pensar en cosas que no tenemos o que debemos. El segundo problema se arregla mediante el conjunto de los racionales  (o  + si queremos evitar los números negativos). Igualmente necesitamos ideas abstractas. Hablar de una mitad o un tercio significa que estamos comparando con algo que debe ser un entero (si tengo media manzana, es que existe una manzana completa que es el doble de lo que tengo, pero esta existencia puede ser solo teórica y no física).

Habiendo llegado a los racionales, el paso siguiente, según nos enseñaron, son los reales (). En este punto nos introducen la recta numérica, la cual está llena de agujeros si tratamos de llenarla con el conjunto . Falta la raíz de 2, falta pi, falta el logaritmo natural de 5 y una infinitud de números más. Todo esto suena muy bien, pero ¿de dónde salió esa recta, y qué operación es la que estamos completando (como antes la resta y la división)? En este punto, estamos completando la noción de medida. Es posible hallar una sucesión de números naturales tales que al elevarlos al cuadrado, su distancia a 2 se acerque a 0. Pero no existe un número racional cuyo cuadrado sea 2, de modo que esta sucesión no tiene límite (los límites en matemáticas, dicho sea de paso también dependen de la métrica que se use). La métrica que se usa para generar los números reales es la del valor absoluto, análoga de la métrica euclidiana para una dimensión. Pero esta no es la única métrica posible. Existe una familia de métricas distintas que dan paso a números completamente diferentes a los reales, llamado los p-ádicos p.

Ya, pero aún así, los números reales son los más intuitivos de todos esos números posibles, ¿no? solo es cuestión de añadir puntos faltantes en una recta. No. La definición formal de los números reales se basa en clases de equivalencia límites de sucesiones de Cauchy en los números racionales. Esta definición da lugar a situaciones extrañas como que 1 = 0,9 = 0,9999…, pero más aún, significa que los números reales son mucho más de lo que nuestra intuición nos dice. Aplicar números reales en problemas cotidianos es modelar la realidad en base a conceptos abstractos. En ese sentido, los números reales tienen poco que ver con la realidad.

Del otro lado, tenemos los números complejos que incluyen a los imaginarios como  i =  − 1. Su reputación de números de mentira es parte del el imaginario colectivo, porque ¿cómo voy a poder tener raíces de números negativos, si todo número elevado al cuadrado es positivo? Esto es un razonamiento circular muy obvio, y sin embargo prevalece. Como contraejemplo de que los números imaginarios no son de verdad, usaré al espacio de Minkowski. Este espacio tiene algunas dimensiones reales (llamadas tipo espacio) y algunas dimensiones imaginarias (llamadas tipo tiempo). Al definir dimensiones reales e imaginarias, un vector puede tener módulo positivo, cero o negativo. Al espacio de los vectores de módulo 0 se lo conoce como cono de luz. Estos términos son tomados directamente de la física, pues el espacio de Minkowski de 3 dimensiones espaciales y una dimensión temporal es el modelo geométrico usado para la relatividad especial.

Si las teoría de relatividad nos parecen muy avanzadas, siempre tenemos la física clásica de Newton con vectores de coordenadas reales. Y sin embargo, los vectores tridimensionales que usamos, junto con las operaciones de producto punto y producto cruz, nacieron como operaciones entre cuaterniones, una extensión de los complejos con tres raíces distintas de la unidad, i, j y k. Si tomamos dos cuaterniones imaginarios puros y los multiplicamos, la parte real es el producto punto (con el signo cambiado) y la parte imaginaria el producto cruz.

Entonces, ¿los números representan al universo físico real, o no? Esta es una falsa dicotomía. Los números pueden ser usados para expresar tanto modelos de la realidad como abstracciones puras. No puedo tener 3i manzanas, pero tampoco puedo ejercer una fuerza de 3 (la fuerza es un vector). En el contexto adecuado, los números pueden ser usados para modelar al mundo real, pero eso es solo una pequeña parte de su uso en las matemáticas.

lunes, 30 de noviembre de 2015

Ambigüedad en el lenguaje (anfibología y equivocación)

El lenguaje es ambiguo. Hay palabras que tienen muchos significados así como conceptos distintos que se denominan con la misma palabra. Para evitar perder el tiempo en semántica (el peor tipo de discusiones son de esta categoría, en mi opinión), es necesario que los demás entiendan a qué nos referimos cuando usamos un vocablo o frase.

La anfibología es la ambigüedad que se crea en una frase a partir del doble sentido de una palabra o peor aún, la interpretación personal de una. Ejemplos comunes con los que me he topado (y que dan paso a discusiones aburridísimas) son:

¿Estamos hablando de un concepto filosófico o de su aplicación práctica? Por ejemplo, si yo digo "método científico" personalmente me refiero a un proceso para obtener conocimiento. Alguien más puede referirse al trabajo que hacen los científicos en la práctica como buscar financiamiento, hacer experimentos con animales, revisión por pares, etc. De manera similar, unos se refieren al capitalismo/socialismo como la filosofía y los métodos teóricos para lograr el desarrollo económico, mientras que otros hacen referencia al conjunto de partidos y políticos que se definen como derecha/izquierda.

¿Un ateo es alguien que no cree en dios o que cree que dios no existe? Muchas personas no se ponen de acuerdo en esto, lo que significa que no pueden saber si los agnósticos son ateos o si los ateos son agnósticos, o si se necesita fe para ser ateo (y cosas irrelevantes por el estilo).

La equivocación ocurre cuando una frase es ambigua por la sintaxis. Por ejemplo si yo digo "Vi a Pepe en el parque con mi telescopio", hay dos interpretaciones posibles: yo usé mi telescopio para ver a Pepe, o vi a Pepe normalmente y él tenía mi telescopio. En este caso sería necesario parafrasear para poder entender el significado.

Una falacia que se basa en cambiar el sentido de las palabras a conveniencia y de manera no tan evidente es ningún verdadero escocés.

Teniendo esto en cuenta, a veces es bueno parar una discusión que parece no ir a ninguna parte y preguntarse "¿De verdad estamos hablando de la misma cosa?".

jueves, 30 de abril de 2015

Desindividuación, deshumanización, demonización

En la política, en las teorías de conspiración y en la discusiones acaloradas del internet siempre existe un grupo enemigo. Los miembros de este grupo están en contra de la paz, de la libertad, de la vida o de la moral, pero lo importante es que su objetivo es hacer del mundo un lugar peor a propósito. Las identidades de estas personas poco importan, porque se comportan de manera homogénea. Obviamente, esta manera de pensar está equivocada. Dentro de cualquier agrupación hay personas que piensan distinto.  Hay 3 etapas para llegar a esta forma de pensar.

La primera se llama desindividuación. Consiste en percibir a los miembros de un grupo como una masa homogénea, sin diferencias personales o pensamiento crítico propio. Es un tipo de pensamiento que prevalece y en realidad es imposible de evitar: las personas no tenemos capacidad para comprender números grandes, peor aún entender a un gran número de personas de manera individual, así que es razonable agrupar a otros por sus características percibidas en común (aunque esta percepción pueda estar equivocada). Más aún, las personas tienden a perder su noción de individualidad cuando están en grupos. El problema con esto surge cuando uno se rehúsa a aceptar las diferencias de un individuo basado en prejuicios.

La deshumanización va un paso más allá. No solo se percibe a los individuos como una masa uniforme, sino que además son inferiores. Es así como alguien puede, por ejemplo, estar de acuerdo con que todos los humanos tienen derecho a tener los hijos que quieran, pero que el gobierno debería hacer un plan masivo de esterilización de gente pobre. En ese caso, la "gente pobre" no merece ciertos derechos humanos, a pesar de que son humanos.

Por último, la demonización de un grupo abarca las otras dos definiciones, pero además existe la percepción de que los miembros son malos y deberían ser eliminados. Un ejemplo de esto es la xenofobia. Creer que los inmigrantes dañan la economía del país (o la pureza de raza, o lo que sea), y deberían ser deportados, encarcelados o ejecutados (dependiendo de qué tan enfermo esté el xenófobo en cuestión).

En resumen: La desindividuación consiste en perder la capacidad de percibir al otro como un individuo, sino como un elemento más de un grupo uniforme. La deshumanización ocurre cuando a un grupo se lo considera inferior. La demonización implica creer que los miembros del grupo no solo son inferiores sino malos, y se debe actuar en contra de ellos. Este es el tipo de mentalidad. Estos 3 tipos de percepciones dan paso sentimientos como la xenofobia, racismo, homofobia, sexismo, etc.

sábado, 31 de enero de 2015

Falso compromiso

Sabemos que si se nos presentan dos opciones no necesariamente la respuesta correcta sea una de las dos (falsa dicotomía). El falso compromiso en cambio es suponer que si se nos presentan dos opciones, ninguna de las dos es absolutamente correcta, sino que se debe hallar un compromiso entre ambas.

Generalmente quien trata de usar el falso compromiso busca dar algo de credibilidad a su argumento equiparándolo a otro con mayor validez. Un ejemplo de falso compromiso es la teoría de la evolución guiada: que la evolución ocurre, pero el mecanismo que lo permite es Dios mediante una selección inteligente.

Una técnica muy común que acompaña al falso compromiso es hacer creer que un hecho establecido es "controversial" y que se necesita más debate o investigación al respecto. Luego se usa la atención ganada para  sustentar más la validez de la teoría alternativa.

Algunos blancos comunes del falso compromiso:
El cambio climático. Los negacionistas del calentamiento global insisten que no está ocurriendo o que es parte de un ciclo natural de temperatura, mediante manipulación estadística.
La teoría de la evolución, completa con una campaña llamada "enseñen la controversia" para tratar de desacreditar el consenso científico.
Teorías racistas que intentan justificarse mediante estadísticas sobre el coeficiente intelectual, tamaño de cráneos o genes específicos que son más comunes en ciertos grupos humanos.

La mejor manera de identificar al falso compromiso es buscando quién o quiénes buscan el compromiso y cuáles son las teorías alternativas que pretenden validar. Si una teoría que pretende ser científica solo es apoyada por grupos de cierta religión o tendencia política, es probable que sea una cuestión ideológica.

En resumen: El falso compromiso es la falacia en la que se pone dos opciones de las cuales una no está fundamentada, y se busca quitar terreno a la opción establecida mediante un compromiso entre ambas.

lunes, 1 de diciembre de 2014

Razonamiento circular

La Biblia es infalible porque es la palabra de Dios y Dios es infalible, tal y como lo dice la Biblia. Evidentemente esta es un pésimo argumento, y el motivo es que es un razonamiento circular. La validez de la premisa depende de la conclusión, lo que no es mejor que simplemente decir la conclusión a secas. Cuando un razonamiento circular es muy corto también se lo conoce como petición de principio.

Un argumento circular no necesariamente es corto, simple o fácil de reconocer. Por ejemplo, durante siglos varios matemáticos trataron de demostrar el quinto postulado de Euclides usando los cuatro postulados previos. Sin embargo, todas las demostraciones, por largas o complejas que fueran, hacían uso de hechos que a solo eran demostrables gracias al quinto postulado (como la existencia de rectángulos, o que la suma de ángulos internos de un triángulo siempre es 180º). Más tarde se encontró que el quinto postulado es independiente de los otros, lo que significa que todas las pruebas que demostraban lo contrario y que no tenían errores matemáticos eran, por necesidad, razonamientos circulares.

Una variante común es justificar una proposición con otra distinta que significa lo mismo. Por ejemplo: Todos los vegetarianos comen sano, porque las personas que no comen sano no son vegetarianas.

La manera más fácil de contrarrestar un argumento circular es mediante la reducción al absurdo, lo que generalmente da como resultado otro argumento circular cuya conclusión es la opuesta de la original.

miércoles, 1 de octubre de 2014

Falacia de la falacia

¿Ya sabes reconocer todas las falacias? ¿Puedes darte cuenta fácilmente de que quién no está siendo riguroso en sus argumentos? Tal vez crees que estás listo para salir a refutar al mundo entero, pero no es tan simple. Refutar el argumento de alguien y concluir que su postura es errada también es falaz. Esto se conoce como la falacia de la falacia. En síntesis, que alguien use una falacia no quiere decir que esté equivocado, solo que no está argumentando desde la lógica.

En realidad es bastante lógico. Es posible tener una postura válida y defenderla con argumentos inválidos. Refutar estos no afecta a la postura de fondo. Más aún, en algunas ocasiones ciertas falacias son mucho más convincentes que la argumentación lógica, como en el caso de la apelación a las emociones o la apelación a la autoridad. Si esto es justificable o no para defender una idea es una cuestión moral.

Es fácil caer en esta falacia si uno está más enfocado en atacar los argumentos del otro que las ideas centrales que trata de defender. Usualmente para probar o refutar una idea se necesita más que lógica, como por ejemplo evidencia física o numérica, como discutí antes.

La falacia de la falacia también se puede juntar con la falsa dicotomía, cuando uno (creyendo haber refutado a la otra parte) concluye que entonces que su postura es la correcta.

domingo, 17 de agosto de 2014

Falsa analogía

Una analogía es una gran herramienta para explicar conceptos. Permite asociar ideas nuevas con el conocimiento previo, o describir algo complejo de tal manera que sea entendible a un nivel más básico. Los problemas ocurren cuando uno trata de forzar una analogía más allá de lo razonable.

Una falsa analogía consiste en tomar partes similares de dos conceptos para luego tratar de forzar más similitudes. También se puede tratar de aplicar varias analogías como si fuera una relación transitiva (si A está relacionada con B, y B está relacionada con C, entonces A está relacionada con C). En lógica formal, esta falacia es un non sequitur.

Ejemplo: "El ser humano es como una máquina en la que todas sus partes son necesarias para mantenerse en funcionamiento, similar a un reloj suizo. Así como el reloj fue diseñado por un relojero, debe haber un creador que diseñó al ser humano".

Esta falacia trata de apelar a la intuición y familiaridad de las personas para hacer pasar por significativas las relaciones superfluas entre los elementos de la analogía. Es una falacia poderosa debido a que los humanos aprendemos por asociación de ideas, que es justamente la base de las analogías.

Algunos ejemplos reales:
Para justificar algunas creencias new age, es común hacer analogías entre los seres humanos y los "sistemas" en general (que pueden ir desde núcleos familiares y empresas hasta sistemas solares o galaxias) para atribuir conciencia a estos sistemas.
Los creacionistas hacen comparaciones como la del reloj suizo para concluir que debe existir Dios, que fue quien desarrolló a los seres vivos.
Los grupos racistas hacen analogías entre grupos humanos pequeños (que se crean por afinidad) y la población en general para justificar la discriminación por raza a nivel estatal.
En política, tratar de comparar una medida con obvias consecuencias negativas con una vacuna, quimioterapia o algún otro tratamiento médico con efectos secundarios que a la larga resulta beneficioso.

¿Cómo identificar esta falacia?
Para empezar, es muy probable que la analogía no esté sola, sino que vaya acompañada de otras. El uso excesivo es una señal de que algo no está bien justificado. También puede ser que no haya varias analogías sino solo una, pero es parte fundamental del argumento y nunca se propone una justificación alternativa.

¿Qué hacer ante esta falacia?
Una posibilidad es exigir una explicación más técnica y rigurosa (en contraste a la analogía que por necesidad es una simplificación). Se puede señalar una diferencia crucial que hace que la analogía se rompa. También es posible usar la reducción al absurdo.